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论文导读：：本文根据三维编织复合材料的结构特点，把整体结构分为内部单胞、表面单胞和角单胞三种类型的子单胞，考虑空间纤维束的相互扭结和挤压所造成的纤维束的弯曲和截面变形，针对每种类型的子单胞，建立了相应的几何分析模型。引入周期性位移边界条件，建立了材料的弹性性能预报模型，得到了三维编织复合材料的工程弹性常数。通过数值比较可以看出，本文所给出的数值计算结果与实验结果吻合较好，从而验证了本文模型的有效性。
关键词：三维编织复合材料，单胞，弹性性能，工程弹性常数
1 引言
三维编织复合材料具有轻质、不分层、强度高、整体性能好和结构设计灵活等特点，已广泛应用于航空航天、武器装备、体育用品等领域。作为一种新型结构材料，根据复合材料的构成方式和组分材料的性质，用细观力学的分析方法从理论上建立其力学性能，是复合材料研究与开发的一个重要手段。由于材料增强体为三维空间网状连续纤维结构，难以直接建立材料的整体力学模型。为此，许多学者基于材料代表性结构单元进行细观分析，并在编织复合材料理论和应用方面取得了许多成果。
对三维编织复合材料的力学行为研究，代表性的工作主要有：Whitney[1]，Crane[2]等基于二维层合板理论的分析模型、梁军[3,4]等的等效夹杂法、Ma[5]的弹性应变能方法、Yang和Chou[6]提出的纤维偏斜模型、吴德隆[7]，Wu[8,9]的三细胞模型、Kalidindi等[10]的等应变加权平均模型、Sun等[11]的“数字单元”链模型、Chen等[12]，Whyte[13]的有限元模型等。这些研究大多以模量分析为中心单胞，由于编织复合材料结构的复杂性和多样性，使其损伤、强度和非线性的研究较之模量的研究成果差之甚大，还有许多工作有待于进一步深入探讨。
本文根据编织复合材料的结构特点，把整体结构分为内部单胞、表面单胞和角单胞三种类型的子单胞，考虑空间纤维束的相互扭结和挤压所造成的纤维束的弯曲和截面变形，针对每种类型的子单胞，建立了相应的几何分析模型。引入周期性位移边界条件，建立了材料的弹性性能预报模型，得到了三维编织复合材料的工程弹性常数。通过数值比较可以看出，本文所给出的数值计算结果与实验结果吻合较好，从而验证了本文模型的有效性。
2 单胞几何模型
三维编织复合材料其编织工艺在每个机器循环后的“打紧”工序使纤维束之间相互扭结、挤压，造成纤维束弯曲和界面形状变化，在此做如下假设：
（1） 由于相互挤压纤维横截面形状为椭圆形，其长短轴分别为和；
（2） 编织工艺稳定，编织结构均匀一致；
（3） 在计算过程中忽略基体和纤维中裂纹和缺陷的影响；
（4） 单胞中所有纤维力学性能横向同性，基体各向同性。
基于上面假设分别对内部单胞、表面单胞和角单胞进行分析毕业论文开题报告。
2.1内部单胞
如图1所示，以三维四向编织材料进行分析。纤维束和的中心迹线在单胞中心点的上方相互交错而过；纤维束和的中心迹线在单胞中心点的下方相互交错而过，这样，四根纤维束在中心点处相互交错通过，单胞内其他空间为基体。对纤维束建立局部坐标系，轴为对角线，轴位于单胞对角面内， 轴垂直于平面。纤维束位于坐标系的第一象限。过单胞中心点O作平行于平面的平行截面，所得纤维束的横截面形状在平面的投影如图2所示，且纤维束的中心迹线位于坐标系的平面内（位于平面并垂直于轴）。对于平面内纤维束的中心迹线单胞，采用式（1）中正弦曲线进行拟合。针对该曲线上的任一微元段直纤维，为描述其力学性能，建立材料主轴坐标系123（主轴1为曲线上微元直线的切向，主轴2位于平面内并垂直与主轴1）。通过建立其它三根纤维束的局部坐标系、和主轴坐标123，即可描述出单胞纤维束的空间构型。
（1）
其中、分别为纤维束椭圆截面的长、短半轴，为纤维束所在对角线长度，为微元段直纤维主轴1与轴的夹角。
， （2）
其中为单胞轴向编织角，、为单胞的长和宽，为单胞的高。经“打紧”工序后，纤维束椭圆界面的长短半轴比为
（3）
图1 内部单胞几何模型图2 纤维束横截面形状
2.2表面单胞和角单胞
根据三维四向编织复合材料的编织工艺，表面单胞和角单胞的几何模型中纤维束在类似于内部单胞的中心点处为折线，其中心迹线如图3和图4所示
由几何模型可得
弹性性能（4）
其中θ为表面编织角，a为内部编织角，β为角编织角。根据纤维束的空间结构可推算出内部单胞、表面单胞和角单胞各自的纤维体积、和以及各自单胞的体积、和
（5）
弹性性能（6）
（7）
弹性性能（8）
（9）
（10）
其中为单胞内纤维束沿中心迹线的长度
（11）
图3 表面单胞图4 角单胞
3 周期性位移边界条件
含周期性单胞的材料在外载荷作用下，其应力应变场应呈现出周期性和连续性。因此，对单个周期性单胞的分析应在周期性边界条件下进行，以得到单胞合理的细观应力分布。
对于含周期性单元胞体的结构，其边界面上的位移场可表示为[14]
（12）
其中为平均应变，为线性分布位移场，为边界面上的周期性位移修正分量。对由周期性代表单元组成的材料，相邻单胞边界处应满足2个连续性条件：（1）位移连续，即变形后在相邻单胞边界处不能出现间隙或相互嵌入；（2） 应力连续，即在周期性单胞相对平行面的应力一致。显然，式（12） 满足位移连续条件单胞，但由于通常为一未知量，很难直接用于实际建模分析。
对于周期性单胞而言，单胞边界面通常是成对且平行出现，相应平行边界面上的位移场可以写成
（13）
式中，符号和分别表示单胞的第组相对平行面，而在周期性单胞相对平行面的对应点上，是一致的，由式（13）得
（14）
式中，对单胞每组相对平行面而言，为一常数，一旦给定，等式右侧位移差即为常值。式（14） 对应节点位移差在数值分析中可直接通过施加相应节点位移线性约束方程实现， 从而回避了直接给出周期性单胞的实际位移边界值。
可以证明[15]，只要采用基于位移元建立的单胞有限元模型，施加式（14）所给定的位移差边界，就足以保证求解的惟一性，并使表面应力连续性得以自然满足，即
（15）
在小变形情况下，可认为周期性单胞为线弹性各向异性体，其本构方程为
（16）
式中为单胞等效柔度矩阵；、分别为单胞宏观平均应变和平均应力，其定义为
（17）
由式（16）可知，一旦给定6 组不相关的位移边界条件，即可分别求出每种工况下的平均应力，得到总共6组方程。求解这不相关的6组方程，从而确定单胞等效柔度矩阵。对于矩形单胞而言
（18）
其中：为单胞的第面；为第面上所有节点方向节点力之和。
4 数值算例
为验证本文模型的合理有效性单胞，与实验结果进行了比较毕业论文开题报告。根据Chen[16] 所提供的三维四步编织复合材料试件的参数（碳纤维/环氧树脂），计算了材料单胞在周期性边界条件下的等效弹性性能。材料组分性能参数见表1，试件工艺参数及单胞模型结构参数见表2。
表1 组分性能参数
材料
弹性模量/GPa
泊松比
Ef1
Ef2
Gf12
Gf23
μf12
μm
碳纤维
230
40
24
14.3
0.25
环氧树脂
3.5
0.34
表2 试样工艺参数及单胞模型结构参数
工件
试样工艺参数
单胞模型结构参数
Dy/m
a（o）
Vf /%
尺寸/mm
γ（o）
a/mm
b/mm
Wx=Wy
h/mm
φ/%
1
0.757
19.0
46.6
20×6×250
26.0
0.599
0.385
2.175
6.317
0.578
2
0.757
30.0
47.2
20×6×250
39.0
0.542
0.404
2.286
3.960
0.607
3
0.757
37.0
47.1
20×6×250
46.8
0.503
0.425
2.402
3.188
0.623
基于本文几何建模思路，对各试件单胞分别施加表3所示周期性位移边界工况。表4给出了弹性常数的数值预报结果及实验数据。由表可知，模型弹性常数预测值与实验吻合较好，表明了该细观几何模型的有效性。同时，各试件具有几乎相等的纤维体积含量，随着试件1到试件3编织角的增大，轴向模量迅速减小，横向模量和逐步增大， 但增幅有限；剪切模量、、增幅较为明显。弹性模量随编织角的变化趋势与基于层板的理论模型基本一致，进一步证明了本文数值模型的合理性。
表3 单胞周期性位移边界条件
工况 k
εx
εy
εz
γyz
γzx
γxy
1
0.01
0
0
0
0
0
2
0
0.01
0
0
0
0
3
0
0
0.01
0
0
0
4
0
0
0
0.02
0
0
5
0
0
0
0
0.02
0
6
0
0
0
0
0
0.02
表4 试件弹性常数数值结果与实验对比
工程弹性常数
No. 1
No. 2
No. 3
实验值
本文预测值
实验值
本文预测值
实验值
本文预测值
Ex /GPa
Ey /GPa
Ez /GPa
Gxy /GPa
Gyz /GPa
Gxz /GPa
μxy
μyz
μxz
58.74
0.72
0.69
8.57
8.57
57.33
11.24
11.24
4.08
0.37
0.70
0.69
27.60
0.78
1.00
8.69
8.69
26.07
15.23
15.23
8.57
0.31
0.70
0.82
18.05
0.80
0.72
10.01
10.01
17.47
16.63
16.63
11.29
0.32
0.77
0.70
5 结论
本文根据三维编织复合材料中纤维束的实际空间几何结构建立了比较合理的三胞模型。模型中不仅考虑了3种单胞各自纤维束的空间结构，还考虑了3种单胞中纤维束的弯曲及纤维束的不同截面形状对材料弹性常数的影响。应用本文的几何分析模型， 并引入周期性位移边界条件，建立了编织复合材料有效弹性常数的数值预报模型。不同尺寸试件的数值预报结果和实验结果比较吻合，从而验证了本文模型的有效性以及普适性。
参考文献
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